Dagli angoli alla geometria delle api

Classi coincolte: Prima della scuola secondaria di I grado
Progettazione
Il percorso descritto rappresenta la combinazione degli incontri di formazione tenuti nel nostro Istituto dalla prof.ssa Castellini nel secondo anno LSS e nel 2012-2013 nell’ambito del progetto POF Atelier della Matematica. Le danze delle api, che permettono una riflessione sui concetti di verso, direzione e ampiezza di un angolo sono state quindi trattate come situazioni problematiche al termine della classe prima. Ciò ha
permesso di recuperare i concetti di verso, direzione e angolo di rotazione affrontati con le trasformazioni geometriche all’inizio dell’anno scolastico – con lo scopo di presentare le isometrie e affrontare i concetti di perpendicolarità, parallelismo, retta, punto, congruenza- e di applicare alla realtà il concetto di angolo, affrontato in modo dinamico per evidenziare che l’angolo è una parte di piano, non un punto.
Prerequisiti punto, retta, semiretta, piano, isometrie
Obiettivi
8. Riconoscere e descrivere l’angolo come parte di piano descritta da una semiretta in movimento
9. Disegnare e determinare la misura di angoli noti, sia con il goniometro, che con un sistema di riferimento ottenuto piegando la carta
10. Riconoscere e applicare la forma sessagesimale di un numero
11. Individuare e costruire angoli multipli e sottomultipli, angolo somma e differenza, tramite la piegatura della carta.
12. Riconoscere e/o disegnare angoli concavi/convessi, acuti/ottusi, angolo piatto, giro, retto, angoli supplementari, complementari, esplementari, consecutivi e adiacenti.
13. Dato un angolo, disegnare la bisettrice tramite l’uso del compasso e/o la piegatura della carta, indicando i due angoli metà.
14. Individuare le strategie appropriate per la soluzione dei problemi 15. Socializzare rappresentazioni grafiche e procedure
Realizzazione e tempi
Lo svolgimento del percorso ha richiesto circa 14h, indicativamente secondo le seguenti fasi:

• Cos'è un angolo: brainstorming sulle preconoscenze degli alunni tramite rappresentazione grafica e verbale; tutti i prodotti degli alunni sono stati attaccati su una cartellone, adoperato poi dall’insegnante per mettere in evidenza misconcetti (angolo disegnato come lunetta, come vertice di una figura, etc…) e elementi corretti (vertice, semiretta, lati dell’angolo, etc…)

• Attività individuale con farina e cannucce di diversa lunghezza che rappresentavano i lati dell’angolo, appoggiati con un estremo in comune sulla farina sparsa su un piatto di carta…rappresentando angoli acuti, ottusi, maggiori o minori del precedente, indipendentemente dalla lunghezza delle cannucce, si è giunti alla semiretta che spazza, al concetto di angolo che lascia la scia; è stato fatto rappresentare quindi nuovamente l’angolo ad ogni alunno, riportando i disegni su un nuovo cartellone; ciò ha messo in evidenza i cambiamenti degli studenti sul concetto di angolo, fino ad arrivare a capire che l’angolo è la parte di piano descritta da una semiretta che si muove attorno alla sua origine;

• Angolo dal corridoio al quaderno: con una corda nel corridoio della scuola è stato fatto rappresentare agli alunni un angolo, poi misurato con la carta e dove tutta la classe è riuscita ad entrare, evidenziando così che l’angolo ha un ampiezza definita ma è anche infinito; lo stesso angolo, apparentemente enorme, usando la carta, è stato poi riportato su un cartellone e infine sul quaderno, dove è stato misurato con il goniometro….in soli 20° sono entrate 30 persone???!!!!

• Ricerca individuale di immagini di angoli in movimento su riviste: orologi, porte che si aprono, movimenti delle braccia, tergicristalli, ….

• Confronto, somma e differenza di angoli con piegatura carta; misura dell’ampiezza di angoli con un angolo retto di riferimento e con il goniometro; costruzione bisettrice con la piegatura della carta; divisione in sottomultipli di un angolo noto con la piegatura della carta; angoli opposti al vertice e angoli in coppie di rette parallele tagliate da una trasversale con la piegatura carta.

• Esercizi sugli angoli nel tavolo da biliardo, tratti da: Rally Matematico transaplino,Matematica senza frontiere e libro di testo “Contaci” C.Bertinetto, Zanichelli “Rosa dei venti”: attività guidata dall’insegnante per angolo e direzione e verso dirotazione nei movimenti della nave, basandosi su un esercizio del libro di testo

• Realizzazione fiori, sole e celle esagonali con cartoncino da parte di un alunno Hautistico, aiutato dal docente di sostegno; il materiale è stato adoperato per realizzare nell’aula magna della scuola le situazioni problematiche sulla danza delleapi; in tal modo ogni alunno ha dovuto immedesimarsi in un ape e quindi rispettoalla direzione sole-alveare descrivere l’angolo necessario per raggiungere il fioresecondo le indicazioni dell’ape bottinatrice. Il giorno successivo ogni situazione“recitata” è stata assegnata da risolvere su schede individuali. Per ciascunasituazione problematica è stato realizzato un cartellone da esporre durante“Atelier della matematica 2015” e da far risolvere ai visitatori, con l’aiuto dellarappresentazione figurata con il materiale in cartoncino. Sono stati necessariulteriori esercizi per accertarsi che tutti gli alunni avessero compreso le danze delle api.

Verifica
La verifica degli apprendimenti è stata svolta: in itinere, correggendo le descrizioni individuali sui quaderni delle attività svolte, correggendo gli esercizi assegnati singolarmente; con una verifica finale scritta; con la modalità di partecipazione all’esposizione matematica finale.
Punti di criticità:
• tempi lunghi per la difficoltà degli studenti a lavorare con piegatura della carta, nonostante fin dall’inizio dell’anno siano state condotte spesso attività manuali;
• i problemi sulla danza delle api hanno evidenziato le difficoltà degli alunni ad orientarsi nello spazio e nel passare dalla realtà al foglio A4;
• difficoltà di circa due terzi della classe a risolvere i problemi sulla danza delle api; ciò ha richiesto l’uso di due cannucce di colore diverso, l’una corrispondente alla direzione sole-alveare, l’altra alla direzione alveare-fiore, in modo da far muovere l’una rispetto all’altra ed individuare così la posizione del fiore o viceversa; sono quindi rimaste difficoltà solo per alunni DSA, che se guidati dal docente hanno
comunque compreso il ragionamento necessario;
Punti di forza:
• le attività svolte hanno coinvolto tutti gli studenti: indipendentemente dai propri limiti in ambito logico-matematico, ognuno ha contribuito positivamente allo svolgimento delle lezioni e quindi alla costruzione dei concetti principali;
• il percorso realizzato ha permesso di destrutturare il concetto di angolo con cui gli alunni sono giunti dalla primaria, per costruire il concetto corretto di angolo in circa quattro/quinti della classe; in particolare l’utilizzo della farina suggerito dalla formatrice ha concettosi intuire l’infinita parte di piano delimitata da un angolo;
• i problemi sulla danza delle api hanno contribuito a stimolare la curiosità degli alunni per la matematica nella realtà.

Dal “Pavimentando” a “Tutti vogliono somigliare al rettangolo”

Classi coinvolte
VA Scuola primaria Don Milani e VA Scuola primaria Catena, due classi parallele di
plessi diversi hanno lavorato insieme

Progettazione
Il percorso nasce dopo l’incontro di formazione con la prof. Castellini “La
geometria delle api”, sull’approfondimento del concetto di equiestensione legato alla
tassellatura/pavimentazione. Partendo dall’equiestensione è stato strutturato un percorso
laboratoriale a classi aperte di scomposizione e ricomposizione delle figure geometriche,
per giungere all’algoritmo utile per calcolare la loro area.
Oltre al materiale fornito durante la formazione, per la strutturazione dei laboratori si è
fatto riferimento a:
A. Cerasoli – Tutti in cerchio – Ed. Feltrinelli - 2012
http://didatticamatematicaprimaria.blogspot.it/ sezione Classe Quinta
Dida' Matematica E Scienze 5 - Lisciani Group
Prerequisiti
Conoscenza dei concetti di: poligoni, poligoni regolari, perimetro, isoperimetria,
congruenza, unità di misura, angoli complementari e supplementari; utilizzo di tecniche di
disegno geometrico su carta millimetrata e/o quadrettata e dei loro strumenti (squadra,
righello, compasso, goniometro).
Obiettivi
1. Riconoscere le figure geometriche, identificando elementi significativi
2. Conoscere l’unità di misura delle aree
3. Riconoscere le invarianze e le relazioni tra le figure, ruotate, traslate e riflesse.
4. Determinare l’area di rettangoli, triangoli e di altre figure per scomposizione.
Realizzazione e tempi
In ciascuna classe il docente ha svolto un ruolo di facilitatore/mediatore, fornendo il
materiale necessario per svolgere l’attività in piccolo gruppo, ponendo poi domande-
stimolo che permettessero agli studenti di giungere ai concetti chiave di superficie,
equiestensione ed esecuzione dell’algoritmo per il calcolo dell’area delle figure
geometriche. Ogni gruppo attraverso attività di cooperative-learning ha trovato l’algoritmo
dell’area, utilizzando la scomposizione e la ricomposizione di figure date e applicando i
concetti noti di pavimentazione ed equiestensione.
A conclusione di questo lavoro portato avanti per classi parallele, gruppi misti di alunni
delle due classi riunite, hanno elaborato un progetto corrispondente ad un segmento del
percorso (pavimentazione e tassellatura, Tangram, dall’unità di misura lineare a quella
quadrata, algoritmi per il calcolo dell’area di tutte le figure geometriche). Ciascun gruppo
ha realizzato un cartellone murale, e un gioco collegato, finalizzati a spiegare ai visitatori
dell’esposizione “Atelier della matematica 2015” la sequenza di percorso didattico a loro
assegnato.
Le docenti hanno condotto nelle proprie classi il percorso concordato fase per fase, in
progettazione congiunta nel periodo da Dicembre 2014 ad Aprile 2015. Le classi divise poi
in gruppi misti hanno lavorato a classi aperte nel mese di Maggio con alcuni incontri
preparatori all’esposizione finale.
Verifica
La verifica per gli alunni si è svolta in due fasi: la prima fase - verifica in classe con
interrogazioni e/o schede strutturate; la seconda fase: verifica nell’ambito dell’esposizione
matematica “Atelier della Matematica 2015” dove si è tenuto conto della realizzazione del
progetto e della rielaborazione/produzione personale.
Punti di criticità:
• difficoltà nel far verbalizzare agli alunni le attività svolte, in quanto poco abituati in
ambito matematico a questo approccio metodologico/operativo;
• difficoltà logistiche nel far lavorare insieme le due classi, perché dislocate in plessi
scolastici diversi;
• necessità di prevedere tempi più distesi per strutturare meglio le attività di tipo
laboratoriale per i lavori a gruppi.
Punti di forza:
• la possibilità per le docenti di condividere in fase progettuale le idee, i materiali e lo
scambio reciproco di esperienze;
• la metodologia del cooperative learning che ha permesso un maggior
coinvolgimento degli alunni “deboli” delle classi e un apprendimento operativo che
ha consentito lo stratificarsi delle conoscenze/abilità evitando una semplice
memorizzazione di procedure;
• lo svolgimento di attività finali a classi aperte, che ha permesso un ulteriore
scambio con compagni che non conoscevano, implementando le abilità sociali.

Verbale incontro di Martedì 10 Giugno 2014

In data 10 Giugno 2014 alle ore 16.30 ha inizio la riunione conclusiva del primo anno per il progetto LSS, con il seguente ordine del giorno:



a) esito del monitoraggio relativo al primo anno di finanziamento del progetto LSS

b) rendicontazione del percorso svolto per ogni ordine di scuola

c) confronto e proposte per il prossimo anno.



I docenti presenti sono: Laura Zecchini, Paola Palmerini, Tiziana Biagiotti, Maria Grillo, Stefano De Santis, Lucia Lavuri, Ester Fagni, Francesca Melani, Silvia Niccolai.



a) Come previsto dall’ordine del giorno, la prof.ssa Tiziana Biagiotti riferisce l’esito del monitoraggio LSS avvenuto in data 22 Maggio. Il lavoro svolto è stato valutato positivamente:

- interessante il blog, anche perché si tratta della prima esperienza di diario di bordo direttamente on-line, quindi fruibile da chiunque;

- alto numero di ore dedicate alla formazione, quindi alto interesse della Dirigente e dell’Istituto per il progetto e la formazione;

- consistente numero di docenti che hanno aderito e partecipato agli incontri.

In occasione del monitoraggio, ci è stato suggerito di conservare la documentazione di percorsi -che alcuni docenti hanno già sperimentato- per il secondo anno LSS, in cui è chiesta particolare attenzione alla sperimentazione, piuttosto che alla formazione. L’insegnante Tiziana Biagiotti è stata invitata a contattare con maggiore insistenza il tutor assegnato dalla Regione Toscana, Prof. Ezio Menchi, che tra l’altro potrebbe/dovrebbe anche offrire il suo contributo proprio sulla didattica della fisica.



La prof. Tiziana Biagiotti riferisce inoltre che in seguito alla contrattazione tra RSU e dirigente è stato stabilito un compenso economico per ogni docente che ha partecipato al progetto. I dettagli economici saranno poi riferiti dalla Dirigente Scolastica Angela Desideri durante il Collegio Docenti di fine Giugno.



b) Scuola dell’Infanzia, docente Francesca Melani: molto operativa e divertente la formazione di fisica, ma carente di stimoli per il proprio ordine di scuola; poco stimolante la formazione di matematica, soprattutto perché carente di proposte di attività concrete; alcuni colleghi hanno già sperimentato tuttavia alcune idee suggerite durante gli incontri, traendone soddisfazione ed entusiasmo, ma mostrando la necessità di proporre tali attività solo per piccoli gruppi.

Scuola primaria, docente Ester Fagni: valida la proposta del prof. Brunelli di utilizzare quesiti INVALSI o del Rally Matematico Transalpino come punto di partenza per abituare gli alunni ad affrontare questioni problematiche, ma esiste la necessità di incontri che propongano percorsi didattici operativi e immediatamente fruibili dagli alunni.

Scuola primaria, docente Stefano De Santis: validi gli incontri con il prof. Brunelli, che anche dal comportamento mostrava una metodologia didattica da riutilizzare nelle proprie classi; troppo tempo dedicato alla rendicontazione di percorsi didattici svolti da colleghi e ristretto il tempo dedicato alla presentazione di nuove attività da sperimentare.

Scuola secondaria, docente Laura Zecchini: utili gli incontri del Prof. Brunelli che hanno posto l’attenzione sul problem solving, suggerendo anche nuove attività da sperimentare; interessante il confronto immediato con i colleghi che hanno riferito di attività sperimentate nelle proprie classi; anche per questo ordine di scuola sarebbero comunque molto utili incontri più coinvolgenti con proposte concrete di attività immediatamente fruibili nelle classi.



La prof.ssa Tiziana Biagiotti riferisce che il Prof. Brunelli ha apprezzato molti dei percorsi documentati da docenti dell’Istituto, sottolineando che progetti tipo LSS hanno la loro efficacia dove già esistono insegnanti capaci di mettersi in discussione, così da coinvolgerne altri. Aggiunge inoltre che, secondo lei, l’esperienza di formazione sia di matematica che di fisica è stata nel complesso interessante e stimolante. Vista l’esiguità delle ore di formazione -rispetto al numero di docenti e alle diversità di questi stessi- riconosce la necessità di saper trarre dagli incontri piccoli e semplici spunti da condividere con i colleghi per costruire autonomamente percorsi didattici adatti alle proprie esigenze. Sottolinea che obiettivo principale di questo primo anno del progetto è aver almeno intuito cosa si intenda per metodo laboratoriale: non svolgere semplicemente esperimenti, nè eseguire pedissequamente problemi ripetitivi del testo di matematica, né lavorare solo con fotocopie riguardo la scuola dell’infanzia, ma piuttosto proporre questioni problematiche anche reali da far risolvere agli alunni stessi, lasciando che loro stessi trovino una regola, una definizione, una regolarità. Ogni docente deve quindi formarsi anche autonomamente sui contenuti, per sapersi poi mettere in gioco con la classe con attività stimolanti. La costituzione di un gruppo permanente di insegnanti, che si confrontino sui contenuti, ma soprattutto sulle attività metodologiche per presentare tali contenuti rappresenta una condizione necessaria e indispensabile per attuare un metodo laboratoriale, fenomenologico, costruttivo.



c) Dopo un ricco confronto sulle necessità dei diversi ordini di scuola, per il secondo anno LSS sono state previste le seguenti azioni.

Ø Due incontri per la definizione dei nuclei fondanti di matematica per ciascun ordine di scuola: entro la prima metà di Settembre un primo incontro tra docenti dello stesso ordine di scuola per definire i nuclei fondanti, gli argomenti principali, i traguardi comuni da condividere con i docenti degli altri ordini; nella seconda metà di Settembre un secondo incontro tra docenti infanzia-primaria e uno primaria-secondaria per confronto ai fini di un curricolo in verticale.

Ø Sulla base delle esigenze emerse dai primi due incontri, nel mese di Ottobre:

- formazione di matematica con prof.ssa Antonella Castellini o prof. Brunetto Piochi, con esempi pratici di attività da svolgere con gli alunni per i tre diversi ordini di scuola;

- formazione di fisica con un esperto quale prof. Ezio Menchi, tutor della nostra scuola per LSS, per definire i nodi concettuali di fisica -necessari per preparazione adeguata degli studenti alla fisica della Scuola Secondaria di II grado- e per poter utilizzare praticamente quanto presentato in questo anno dal Dott. Samuele Straulino;

- formazione di scienze con Prof. Carlo Fiorentini, Presidente del CIDI di Firenze e membro della segreteria nazionale della stessa associazione, da molti anni opera nel campo della ricerca didattica e della formazione degli insegnanti.



Ø Incontri mensili del gruppo di lavoro docenti per sperimentare percorsi sulle proprie classi, anche in continuità tra i tre ordini di scuola.



L’incontro termina alle ore 19.00 circa.

Atelier della Matematica - 30 e 31 Maggio - 3 Giugno

Verbale 3^ Incontro di formazione sulla didattica della matematica- Scuola Secondaria - 9 Maggio 2014

Come consuetudine il Prof. Brunelli inizia la lezione con la comunicazione di date e luoghi di incontri che nei prossimi mesi animeranno i corsi di aggiornamento e formazione sulla didattica della matematica in varie regioni italiane. L’invito di Brunelli a partecipare il più possibile a corsi e convegni ha come obiettivo ultimo la formazione del docente che deve sempre rimanere centrale.

L’acquisizione di nuovi strumenti e strategie didattiche è fondamentale per costruire un curricolo di matematica interessante, accattivante, vivo e comunque coerente con le Indicazioni Nazionali. Ben altra cosa è la trasposizione didattica: non è facile trasferire ciò che sappiamo e impariamo ai nostri ragazzi. Si riflette su come l’insegnamento è e deve essere un processo creativo e complesso che vede protagonista l’insegnante che agisce sul Sapere per trasformarlo in un sapere da insegnare adatto ai propri allievi.
Il prof. Brunelli ancora una volta ribadisce con forza che uno dei punti deboli degli studenti italiani sia la matematizzazione: gli alunni messi davanti ad una situazione problematica hanno molta difficoltà a capire quale operazione utilizzare per risolverlo. Quello che durante questi incontri di formazione ci appare ben chiaro è che occorre agire sul piano metodologico, occorre partire da situazioni problematiche. Fare matematica significa risolvere problemi ed i problemi sono situazioni nuove per affrontare le quali non si possono usare solo schemi o meccanicismi appresi ma si richiede l’attività dell’intelligenza nei suoi vari aspetti come intuizione, immaginazione,progettazione, ipotesi, deduzione, verifica…

La discussione si anima e l’intervento di un insegnante di sostegno appare significativa e condivisa.Vanno presentati agli studenti problemi significativi, complessi, tratti dal mondo reale o costruiti in modo realistico, strutturati in modo tale da interessarli e coinvolgerli: il testo deve catturare la lorocuriosità, il lessico deve essere comprensibile e ben codificabile.
La parola passa ad una collega che nella propria classe ha proposto un’attività di problem solving:”La pioggia di cavallette in Lombardia”. Lo spunto per tale attività è un quesito della competizione“Matematica senza frontiere”. Il problema richiede di calcolare il numero di cavallette che nasceranno nell’anno 2008 a partire da una cavalletta che nel 2006 ha dato alla luce 4 cavallette da ognuna delle quali nasceranno altre 4 cavallette e così via. Su invito del prof Brunelli ci dividiamo in gruppi di due e risolviamo il problema. Viene poi data la parola a tutti per esporre il proprio modo di ragionare e operare per risolvere tale problema. Le strategie sono diverse: un problema può essere risolto in vari modi e è utile apprendere il punto di vista degli altri. Poi la collega illustra e ci mostra come i suoi alunni hanno risolto il problema: si discute, si riflette, si impara da ciò che scrivono gli alunni.
La lezione si conclude con un problem solving che Brunelli propone a noi insegnati, lo stesso che gli si era presentato la mattina a scuola in seguito alla comunicazione dei risultati di una gara di matematica alla quale le sue classe avevano partecipato. I ragazzi volevano sapere quale classe si fosse classificata meglio: la 1^B arrivata ottava su 135 partecipanti o la 2^B arrivata diciannovesima su 152 partecipanti? Il problema era reale e interessava gli studenti perché ne erano davvero protagonisti. Situazioni così vanno cercate e alimentate. Anche in questo caso le soluzioni proposte sono diverse e più soluzioni si trovano e più si impara a trovarne, un po’ perché ci si rendedavvero conto di come funzionano le cose un po’ perché si diventa più esperti sul come si possonotrovare.


Laura Zecchini, docente Scuola Secondaria

Verbale 2^ Incontro di Matematica con il professor Fabio Brunelli - 14 Aprile 2014

Il giorno 14 aprile alle 15,00 ci siamo ritrovati per il terzo incontro di formazione di matematica.
L’incontro è iniziato con i “compiti per le vacanze”: il prof. Brunelli ha scritto sulla lavagna una serie di date, a partire da Giugno fino a Settembre-Ottobre, di convegni sulla didattica della matematica che si terranno in località in tutta Italia, suggerendoci di partecipare per una bella vacanza in compagnia
della matematica (magari!).

Ha chiesto in un secondo momento se qualcuno di noi avesse provato a svolgere delle attività in classe. Una collega  ha quindi riferito di aver proposto ai suoi alunni di classe prima il “Numerando” della scorsa lezione ed commentato la sua esperienza.

Successivamenteci ha consegnato la seguente immagine in bianco e nero. Ci ha chiesto di disegnare l’albero di questa barchetta cercando di trovare una strategia per posizionarlo al centro della barchetta stessa e di lunghezza pari a quella della barca. Ognuno ha utilizzato strategie differenti.

Raccomandazione per tutti i partecipanti: documentare tutto il lavoro svolto appena possibile!!!!

L’attività “L’albero maestro” è ben documentato nel piano Mat@bel, sulla
piattaforma INDIRE. Protagonista del percorso è appunto l’altezza di poligoni,
presentata sempre e comunque con attività di problem solving, parola d’ordine
di questo corso di formazione.
Paola Palmerini, docente di matematica e scienze